La récré des maths 39: Proposition « De deux commerçants »

Un nouvelle proposition d’Alcuin, où l’on fait encore commerce de cochons…

Deux commerçants avaient 100 ducats en commun pour l’achat de porcs. Avec cet argent, ils achetèrent des porcs qu’ils payèrent 2 ducats pour 5. Ils voulaient les engraisser et les revendre pour faire des profits. Par malheur, ce n’était pas la bonne saison pour engraisser des porcs et ils ne voulaient pas les nourrir pendant l’hiver. Ils tentèrent de les vendre à profit, mais ce fut impossible. Comme ils ne pouvaient pas les vendre plus cher, ils acceptèrent 2 ducats pour 5 porcs. Après analyse, ils pensèrent à les partager entre eux et en les vendant, ils firent un profit.

Qui est assez fort pour dire comment se fit le partage, combien ils les vendirent et quel fut leur profit ?

Et la solution du mois précédent:

La probabilité correcte étant 1/4 et non 1/2, la difficulté consiste à repérer l’erreur de raisonnement aboutissant à la mauvaise conclusion.

Le raisonnement énumératif

Il y a huit possibilités équiprobables (PPP, PPF, PFP, PFF, FPP, FPF, FFP, FFF ), parmi celles-ci se trouvent deux cas favorables (PPP et FFF). La probabilité vaut donc 2/8, soit 0,25.

Le raisonnement fallacieux

revenons au discours de Jean : Si je lance trois pièces, il y en a forcément deux qui seront déjà du même côté. La troisième y sera avec une chance sur deux. Donc il y a une chance sur deux que toutes trois tombent du même côté. Il y a 4 possibilités : 2xP+P, 2xP+F, 2xF+P, 2xF+F ; et 2 cas favorables : 2xP+P, 2xF+F.

Sauf que, contrairement au raisonnement énumératif, les possibilités ne sont pas équiprobables.

Par exemple : 2xP+P correspond à PPP seulement ; mais 2xP+F correspond à PPF, PFP ou FPP. Le cas 2xP+F est donc trois fois plus probable que 2xP+P.

Creusons encore un peu:

Et supposons que l’on numérote les pièces sans les regarder, puis on découvre que les pièces n^o 1 et n^o 2 donnent pile. Quelle est la probabilité pour que la pièce n^o 3 donne pile ? 1/2.

Sauf que lorsque les pièces sont numérotées dans l’ignorance du (ou préalablement au) tirage, la pièce n^o 3 n’est pas corrélée aux deux autres. La troisième pièce, en revanche, est choisie ou déterminée a posteriori. Elle est corrélée aux deux autres. C’est, grossièrement la pièce dont le résultat peut être différent des autres.

« la probabilité pour que la pièce n^o 3 donne pile lorsque les pièces n^o 1 et n^o 2 donnent pile » signifie « la probabilité pour que la pièce n^o 3 donne pile sachant que les pièces n^o 1 et n^o 2 donnent pile. » Il faut donc faire usage des probabilités conditionnelles (la probabilité d’un événement sachant qu’un autre événement a eu lieu.), ce qui donnera un résultat différent avec un calcul compliqué que je ne détaillerai pas ici. (mais si ça vous intéresse, tout est détaillé sur wikipedia ici).